ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: постановка и проведение исследования с помощью компьютера.

Приемы активизации познавательной деятельности: проблемный характер изложения нового материала с применением компьютера.

Цели урока:

Образовательная: показать новый метод решения задач на построение геометрического места точек; Научить применять его в решении задач.

Развивающая: развитие наглядно- образного мышления; познавательного интереса.

Воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение, критически оценивать результат.

Оборудование урока:

  1. Доска.
  2. Чертежные инструменты.
  3. Персональные компьютеры.
  4. Учебное пособие "Геометрия 9", под редакцией Ш.А. Алимова.
  5. Рабочая тетрадь по геометрии.

Ход урока:

Мотивационно - ориентировочная часть урока:

Мотивация:

Приветствие учащихся. Сегодня мы продолжаем решать задачи на построение и знакомиться с новыми методами решения таких задач. Вашему внимания предлагается задача.

Постановка учебной задачи:

Задача: Даны три точки А,B,C, не лежащие на одной прямой. Построить точку X, которая бы удовлетворила двум условиям:

  1. Находилась на данном расстоянии от C ( в качестве такого расстояния взят произвольный отрезок);
  2. Была бы равноудалена от точек A, B.

Вопросы:

  1. Где находятся все точки, расположенные на одном расстоянии от C? (на окружности).
  2. В каком месте окружности располагается точка X? (в любой точке окружности).
  3. Где будет расположена точка X, равноудаленная от точек A и B? (на середине отрезка с концами в этих точках).
  4. Будет ли это место единственным для X? (да, нет).

Итак, в этой задаче нам нужно найти геометрическое место точек X.

Запишем понятие геометрического места точек в тетради.

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Актуализация знаний.

Вопросы:

  1. Каким свойством обладают все точки окружности? (равноудалены от центра);
  2. Где находится геометрическое место точек равноудаленных от данной точки? (на окружности).

Запись определения в тетради:

Геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, есть окружность.

  1. А где находится геометрическое место точки равноудаленной от двух данных точек? (на середине отрезка); Геометрическое место точек равноудаленных от двух данных точек, есть середина отрезка.
  2. А где находится геометрическое место всех точек равноудаленных от двух данных точек? (предстоит выяснить);
  3. Сможем ли мы с вами уже сейчас сказать, что это будет за геометрическая фигура, на которой будут расположены все эти точки, равноудаленные от данной точки? (нет).

Операционно-исполнительская часть:

Преобразование условия задачи.

Предлагаются задачи, которые помогут определить такое геометрическое место точек.

Дано: окружность с центром в точке О, BC=диаметр.

Доказать: AB=AC

Доказательство:

1. , так как он развернутый. по аксиоме измерения углов. тогда

2. по двум сторонам и углу между ними, т.к. BO=OC, по свойству радиусов окружности, AO=общая. из пункта 1 что и требовалось доказать.

Вопросы:

  1. Если расстояния AB и AC равны, что можно сказать о расположении точки A относительно точек B и C? ( точка А равноудалена от точек В и С).
  2. А какая еще точка на рисунке равноудалена от точек В и С? (точка О).
  3. Сколько всего на нашем рисунке точек равноудаленных от точек В и С? (две).
  4. На какой геометрической фигуре лежат эти точки? (на отрезке ОА).

Продлим прямую OA, получим прямую "а".

Внимательно посмотрим на рисунок, ответьте, как построена прямая "а" относительно отрезка BC. (Ответ: в точке О - середине ВС).

Запомним два важных условия для построения прямой "а". Они пригодятся нам для решения нашей первоначальной задачи. Решая эту задачу, нашли ли мы геометрическое место всех точек, равноудаленных от всех точек B и C? (нет, только для двух точек смогли определить такое место).

Моделирование правила:

Смоделируем такое геометрическое место точек равноудаленных от точек A и B.

Дано: в его середине.

Доказать:

  1. Каждая точка прямой "а" равноудалена от точек A и B.
  2. Каждая точка, равноудаленная от точек A и B лежит на прямой "а".

Работа учащихся по группам.

Первая группа выполняет задание на компьютере.

Используя метод наложения, группа учащихся, работающих на ЭВМ, делает следующий вывод: окружности, построенные с центром в одной точке и радиусами равными расстояниям от любой точки прямой до концов отрезка совпадут, поэтому каждая точка прямой "а" равноудалена от точек A и B.

Вторая группа выполняет доказательство в тетради.

Доказательство:

(по двум сторонам и углу между ними), т.к., общая сторона, тогда AP=PB.

Докажем, что каждая точка, равноудаленная от точек А и В лежит на прямой А.

Используем метод от противного. Доказательство проводится вместе с учителем.

  1. Предполагаем, что существует такая точка D, что AD=DB, построим прямую DO и соединим D и O.
  2. Рассмотрим , он равнобедренный по определению, т.к. AD=DB? DO-медиана равнобедренного треугольника, тогда DO- высота (по теореме о медиане равнобедренного треугольника), тогда , через точку О можно провести только одну прямую перпендикулярную отрезку AB. Значит наше предположение о том, что точка D принадлежит другой прямой, а не прямой "а" - ложно.

Решая эту задачу, мы сделали важное открытие. Нашли геометрическое место точек равноудаленных от 2-х точек.

Преобразование модели правила:

Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является прямая, проходящая через середину отрезка с концами в двух данных точках и перпендикулярная ему.

В геометрии определение этого геометрического места точек формулируется как теорема. Мы с вами решили задачу - теорему.

Возврат к планированию решения учебной постановочной задачи.

Вопросы:

Построить геометрическое место точек равноудаленных от данной точки можем? (Да, прямая).

Построить геометрическое место точек находящихся на данном расстоянии от данной точки можем? (Окружность).

Что же будет являться решением нашей задачи? (Пересечение окружности и прямой).

Где будет находиться точка Х, удовлетворяющая двум условиям задачи, лежащая и на прямой и на окружности? (На пересечении этих фигур)

Предлагается смоделировать на компьютере различные решения задачи.

Вопросы:

Сколько решений может иметь данная задача? (Может не иметь решений, 1 решение, 2 решения).

Рефлексивно-оценочная часть.

Подведем итоги урока.

  1. С какими новыми понятиями вы познакомились на уроке? (Геометрическое место точек).
  2. Что называется геометрическим местом точек? (Геометрическое место точек это фигура, состоящая из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством).
  3. Какая задача стояла перед нами в начале урока? (Определение геометрического места точек равноудаленных от двух данных точек и находящихся на данном расстоянии от некоторой точки).
  4. Какие два геометрических места точек мы определили в нашей задаче? (Окружность и прямую, содержащую серединный перпендикуляр).
  5. Что явилось решением задачи? Можно ли считать что мы решили задачу, поставленную на уроке? (Пересечение геометрических мест).
  6. С каким методом решения задач на построение вы познакомились на уроке? (Методом геометрических мест).
  7. Какое твое участие в открытии правила и метода решения задачи?

Домашнее задание: Знать доказательство свойства геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек. Задача №357.

Ипатова Я.Г.
зам. директора по УВР,
СШ №28